已知正六角形的边心距r6为1厘米,求它的半径长.边长.周长和面积_百度知 ...

发布网友 发布时间：2024-10-05 03:25

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热心网友 时间：2024-10-08 22:40

正六边形的边心距\( r_6 \)为1厘米，求其半径长、边长、周长和面积。
1. 半径长：
正六边形的每个内角为\( 120^\circ \)，因此其中心角为\( 60^\circ \)。在直角三角形中，边心距、半径和边长构成直角三角形，其中边心距是直角三角形的高，半径是斜边。根据三角函数，我们可以得出半径\( R \)与边心距\( r_6 \)的关系为：
\[ R^2 = r_6^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 \]
代入\( r_6 = 1 \)厘米，解得：
\[ R^2 = 1^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 \]
\[ R^2 = 1 + \frac{R^2}{4} \]
\[ \frac{3}{4}R^2 = 1 \]
\[ R^2 = \frac{4}{3} \]
\[ R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]厘米。
2. 边长：
由于正六边形的每个内角为\( 120^\circ \)，每个外角为\( 60^\circ \)，因此边长等于半径，即：
\[ \text{边长} = R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]厘米。
3. 周长：
正六边形有六条等长的边，因此周长为：
\[ \text{周长} = 6 \times \text{边长} = 6 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \]厘米。
4. 面积：
正六边形的面积可以通过半径计算得出，公式为：
\[ \text{面积} = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 \]
代入\( R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \)厘米，得：
\[ \text{面积} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \sqrt{3} \]平方厘米。